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Angeordneter Körper/Betrag/Einführung/Textabschnitt

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In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.

Der Betrag ist also nie negativ (da aus die Beziehung folgt, vergleiche Fakt  (2)) und hat nur bei den Wert , sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung

nennt man auch Betragsfunktion. Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch stückweise linear.



Es sei ein angeordneter Körper.

Dann erfüllt die Betragsfunktion

folgende Eigenschaften (dabei seien beliebige Elemente in ).
  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist genau dann, wenn oder ist.
  4. Es ist .
  5. Es ist .
  6. Für ist .
  7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
  8. Es ist .

Beweis

Siehe Aufgabe.


Die Zahl nennt man auch den Abstand der beiden Zahlen und und die Länge der Strecke (oder des Intervalls) von nach bzw. von nach . Bei wird die Strecke von nach in () gleichlange Streckenabschnitte eingeteilt, wenn man die Zwischenpunkte

betrachtet (bei bzw. ergeben sich Randpunkte).