Angeordneter Körper/Folgen/Vergleichsregeln/Textabschnitt

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ konvergente Folgen mit $x_{n} \geq y_{n}$ für alle $n \in ℕ$ .

Dann ist

$lim_{n \to \infty} x_{n} \geq lim_{n \to \infty} y_{n} .$

Beweis

Siehe Aufgabe.

◻

Daraus folgt insbesondere, dass bei einer konvergenten Folge, für die $x_{n} \geq a$ für jedes Folgenglied gilt, auch der Limes $\geq a$ sein muss (die entsprechende Aussage für $>$ statt $\geq$ gilt nicht, wie die Folge der Stammbrüche zeigt). Ebenso folgt, dass zu einer Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ} \in [a, b]$ , die konvergiert, auch der Grenzwert zu dem abgeschlossenen Intervall gehören muss.

Die folgende Aussage nennt man das Quetschkriterium.

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${(x_{n})}_{n \in ℕ}, {(y_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ drei Folgen in $K$ . Es gelte

x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n} für alle n \in ℕ

und ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$ .

Dann konvergiert auch ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ gegen diesen Grenzwert $a$ .

Beweis

Siehe Aufgabe.

◻