Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}b\in K$  eine obere Schranke, also  ${}x_{n}\leq b$  für alle Folgenglieder ${}x_{n}$.  Wir nehmen an, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus Fakt. Somit gibt es ein  ${}\epsilon >0$  derart, dass es für jedes ${}n_{0}$ ein  ${}m>n_{0}$  mit  ${}x_{m}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$  gibt (wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen). Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch  ${}n_{0}=0$, 

$n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$

$n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein  ${}k\in \mathbb {N}$  mit  ${}k\epsilon >b-x_{0}$.  Die Summe der ersten ${}k$ Differenzen der Teilfolge ${}x_{n_{j}}$, ${}j\in \mathbb {N}$, ergibt

${}{\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{0}&=(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}})+(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}})+\cdots +(x_{n_{2}}-x_{n_{1}})+(x_{n_{1}}-x_{n_{0}})\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{0}.\end{aligned}}$

  Dies impliziert  ${}x_{n_{k}}>b$  im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ${}b$ eine obere Schranke der Folge ist.

Zur bewiesenen Aussage