Beweis
Es sei
eine
obere Schranke,
also
für alle Folgenglieder . Wir nehmen an, dass keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus
Fakt.
Somit gibt es ein
derart, dass es für jedes ein
mit
gibt
(wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen).
Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
,
-
-
etc. Andererseits gibt es aufgrund des
Archimedesaxioms
ein
mit
.
Die Summe der ersten Differenzen der
Teilfolge
, ,
ergibt
Dies impliziert
im Widerspruch zur Voraussetzung, dass eine obere Schranke der Folge ist.