Arithmetische Repräsentierbarkeit/N/Textabschnitt

Definition

Eine Abbildung

$F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$

heißt arithmetisch repräsentierbar , wenn es einen ${}L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck ${}\psi$ in ${}r+s$ freien Variablen derart gibt, dass für alle ${}(r+s)$-Tupel ${}(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}$ die Äquivalenz ${}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})$ genau dann, wenn ${}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})$ gilt.

Definition

Eine Relation ${}R\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ heißt arithmetisch repräsentierbar , wenn es einen ${}L^{\rm {Ar}}$-Ausdruck ${}\psi$ in ${}r$ freien Variablen derart gibt, dass für alle ${}r$-Tupel ${}(n_{1},\ldots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ die Äquivalenz ${}(n_{1},\ldots ,n_{r})\in R$ genau dann, wenn ${}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r})$ gilt.