Auflösbare Gruppe/Kommutatorkriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird, sagen wir

${}G\supseteq K(G)\supseteq K^{2}(G)\supseteq \ldots \supseteq K^{i-1}(G)\supseteq K^{i}(G)=\{e\}\,,$

so liegt unmittelbar eine auflösende Filtrierung vor, da ja

${}K^{j+1}(G)=K(K^{j}(G))\subseteq K^{j}(G)\,$

nach Fakt ein Normalteiler ist mit einer abelschen Restklassengruppe.
Es sei nun ${}G$ auflösbar. Wir zeigen durch Induktion über die Anzahl ${}k$ der beteiligten Untergruppen in einer auflösenden Filtrierung von ${}G$, dass die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird. Dabei sind die Fälle ${}k=0,1$ klar. Wir betrachten die Untergruppe ${}G_{k-1}\subset G_{k}=G$ in der Filtrierung. Da die Restklassengruppe ${}G/G_{k-1}$ kommutativ ist, wird die Kommutatorgruppe ${}K(G)$ unter der Restklassenabbildung auf ${}0$ abgebildet und daher ist ${}K(G)\subseteq G_{k-1}$. Dabei besitzt natürlich ${}G_{k-1}$ eine auflösende Filtrierung mit ${}k-1$ Untergruppen, und der Beweis zu Fakt zeigt, dass dies auch für die Untergruppe ${}K(G)$ gilt. Nach Induktionsvoraussetzung wird also die Filtrierung von ${}K(G)$ durch die iterierten Kommutatorgruppen trivial.

Zur bewiesenen Aussage