Auflösbare Gruppe/Kommutatorkriterium/Fakt/Beweis

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Beweis

Wenn die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird, sagen wir

so liegt unmittelbar eine auflösende Filtrierung vor, da ja

nach Fakt ein Normalteiler ist mit einer abelschen Restklassengruppe.
Sei nun auflösbar. Wir zeigen durch Induktion über die Anzahl der beteiligten Untergruppen in einer auflösenden Filtrierung von , dass die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird. Dabei sind die Fälle klar. Wir betrachten die Untergruppe in der Filtrierung. Da die Restklassengruppe kommutativ ist, wird die Kommutatorgruppe unter der Restklassenabbildung auf abgebildet und daher ist . Dabei besitzt natürlich eine auflösende Filtrierung mit Untergruppen, und der Beweis zu Fakt zeigt, dass dies auch für die Untergruppe gilt. Nach Induktionsvoraussetzung wird also die Filtrierung von durch die iterierten Kommutatorgruppen trivial.

Zur bewiesenen Aussage