Beweis
Es sei zunächst
auflösbar.
Nach
Fakt
ist
auflösbar.
Betrachten wir also die Restklassengruppe
und fixieren wir eine
auflösende Filtrierung
-
Es sei
-
der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen
,
dies ist eine Filtrierung von mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
-
wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass ein Normalteiler in ist, und ziehen dazu
Fakt
heran. Es sei also und , die wir durch bzw. repräsentieren. Dann ist
und wegen der Normalität von in ist und somit . Wir betrachten die
zusammengesetzte
surjektive Abbildung
-
Da zum
Kern
dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von
Fakt
eine surjektive Abbildung
-
weshalb ebenfalls kommutativ ist.
Es seien nun
und
auflösbar, sei
der Restklassenhomomorphismus und seien
-
und
-
auflösende Filtrierungen. Wir ergänzen die Filtrierung von durch die Urbilder
zu einer Filtrierung von . Die surjektive Abbildung
-
besitzt den Kern und zeigt, dass ein Normalteiler in mit kommutativer Restklassengruppe ist.