Auflösbare Gruppe/Untergruppe ebenfalls/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung

${}\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,$

aus, d.h., dass die ${}G_{i}$ Normalteiler in ${}G_{i+1}$ und die Restklassengruppen ${}G_{i+1}/G_{i}$ kommutativ sind. Die Untergruppe ${}H\subseteq G$ besitzt durch ${}H_{i}=H\cap G_{i}$ eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}H\cap G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H\cap G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor. Wir betrachten den Homomorphismus

$f\colon H\cap G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}.$

Der Kern von ${}f$ ist offenbar ${}H\cap G_{i}$. Daher ist ${}H_{i}$ nach Fakt ein Normalteiler in ${}H_{i+1}$, und der Quotient ${}H_{i+1}/H_{i}$ ist nach Fakt eine Untergruppe von ${}G_{i+1}/G_{i}$ und damit kommutativ. Also bilden die ${}H_{i}$ eine auflösende Filtrierung von ${}H$.

Zur bewiesenen Aussage