Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl $\alpha$ als auch $\mathrm{\neg }\alpha$ zu $\mathrm{\Gamma }$ gehören. Wenn weder $\alpha$ noch $\mathrm{\neg }\alpha$ zu $\mathrm{\Gamma }$ gehören, so ist entweder $\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder $\Gamma \cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$ widerspruchsfrei, was der maximalen Widerspruchsfreiheit von $\mathrm{\Gamma }$ widerspricht. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck $\beta$ sowohl

$\Gamma \cup \{\alpha \}⊢\beta$

als auch

$\Gamma \cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}⊢\beta$

gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe

$\Gamma ⊢\alpha \to \beta$

und

$\Gamma ⊢\mathrm{\neg }\alpha \to \beta ,$

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

$\Gamma ⊢\beta$

folgt. Dies würde aber bedeuten, dass $\mathrm{\Gamma }$ widersprüchlich wäre.

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