Aussagenlogik/Modellbeziehung/Interpretation/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ eine Menge von Variablen und ${}L^{V}$ die zugehörige aussagenlogische Sprache. Unter einer Wahrheitsbelegung versteht man eine Abbildung

\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}

(oder mit ${}\{f,w\}$ als Wertebereich).

Eine Wahrheitsbelegung ist also einfach dadurch gegeben, dass einer jeden Aussagenvariablen ein Wahrheitswert, nämlich ${}0$ oder ${}1$ bzw. ${}f$ oder ${}w$ zugeordnet wird. Eine solche Wahrheitsbelegung möchte man auf die gesamte Sprache fortsetzen, wobei die folgenden Festlegungen die inhaltliche Bedeutungen der Junktoren widerspiegeln. Die folgende Definition ist möglich, da der rekursive Aufbau einer Aussage eindeutig bestimmt ist.

Definition

Es sei ${}V$ eine Menge von Variablen, ${}L^{V}$ die zugehörige aussagenlogische Sprache und

\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}

eine Wahrheitsbelegung. Unter der zugehörigen Interpretation ${}I=I^{\lambda }$ versteht man die über den rekursiven Aufbau der Sprache festgelegte Abbildung

I\colon L^{V}\longrightarrow \{0,1\}

mit

${}I(v)=\lambda (v)$ für jede Aussagenvariable ${}v\in V$ .
Bei ${}\alpha =\neg (\beta )$ ist
${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1\,.\end{cases}}\,$
Bei ${}\alpha =(\beta )\wedge (\gamma )$ ist
${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=1\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Bei ${}\alpha =(\beta )\vee (\gamma )$ ist
${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
Bei ${}\alpha =(\beta )\rightarrow (\gamma )$ ist
${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=0{\text{ oder }}I(\gamma )=1\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )=1{\text{ und }}I(\gamma )=0\,.\end{cases}}\,$
Bei ${}\alpha =(\beta )\leftrightarrow (\gamma )$ ist
${}I(\alpha )={\begin{cases}1,{\text{ falls }}I(\beta )=I(\gamma )\,,\\0,{\text{ falls }}I(\beta )\neq I(\gamma )\,.\end{cases}}\,$

Bei

{}I(\alpha )=1\,

sagt man, dass der Ausdruck ${}\alpha$ bei der Wahrheitsbelegung ${}\lambda$ (oder der Interpretation ${}I$ ) wahr wird (oder gilt), andernfalls, dass er falsch wird (nicht gilt). Dafür schreibt man auch ${}I\vDash \alpha$ bzw. ${}I\not \vDash \alpha$ . Mit ${}I^{\vDash }$ bezeichnen wir die Menge aller bei der Interpretation ${}I$ wahren Ausdrücke aus der Sprache. Wenn ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Menge an Ausdrücken ist, so bedeutet ${}I\vDash \Gamma$ , dass ${}I\vDash \alpha$ für alle ${}\alpha \in \Gamma$ gilt. Dafür sagt man auch, dass ${}\Gamma$ bei der Interpretation ${}I$ gilt oder dass ${}I$ ein Modell für ${}\Gamma$ ist.

Beispiel

Es sei ${}V=\{p,q,r\}$ und ${}\lambda$ sei die Wahrheitsbelegung mit ${}\lambda (p)=1,\,\lambda (q)=1,\,\lambda (r)=0$ . Es sei ${}I$ die zugehörige Interpretation. Zur Berechnung des Wahrheitswertes von