Aussagenlogik/Modellbeziehung/Interpretation/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei eine Menge von Variablen und die zugehörige aussagenlogische Sprache. Unter einer Wahrheitsbelegung versteht man eine Abbildung

(oder mit als Wertebereich).

Eine Wahrheitsbelegung ist also einfach dadurch gegeben, dass einer jeden Aussagenvariablen ein Wahrheitswert, nämlich oder bzw. oder zugeordnet wird. Eine solche Wahrheitsbelegung möchte man auf die gesamte Sprache fortsetzen, wobei die folgenden Festlegungen die inhaltliche Bedeutungen der Junktoren widerspiegeln. Die folgende Definition ist möglich, da der rekursive Aufbau einer Aussage eindeutig bestimmt ist.


Definition  

Es sei eine Menge von Variablen, die zugehörige aussagenlogische Sprache und

eine Wahrheitsbelegung. Unter der zugehörigen Interpretation versteht man die über den rekursiven Aufbau der Sprache festgelegte Abbildung

mit

  1. für jede Aussagenvariable .
  2. Bei ist
  3. Bei ist
  4. Bei ist
  5. Bei ist
  6. Bei ist

Bei

sagt man, dass der Ausdruck bei der Wahrheitsbelegung (oder der Interpretation ) wahr wird (oder gilt), andernfalls, dass er falsch wird (nicht gilt). Dafür schreibt man auch bzw. . Mit bezeichnen wir die Menge aller bei der Interpretation wahren Ausdrücke aus der Sprache. Wenn eine Menge an Ausdrücken ist, so bedeutet , dass für alle gilt. Dafür sagt man auch, dass bei der Interpretation gilt oder dass ein Modell für ist.


Beispiel  

Es sei und sei die Wahrheitsbelegung mit . Es sei die zugehörige Interpretation. Zur Berechnung des Wahrheitswertes von

unter dieser Interpretation muss man rekursiv gemäß Definition die einzelnen Bestandteile auswerten. Es ist

und somit

Also ist

Andererseits ist

und daher ist

Der Ausdruck ist also bei dieser Wahrheitsbelegung nicht wahr.