Sei
ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
-
rekursiv definierte
Folge
in . Wir setzen . Dann gilt für jedes die Beziehung
-
Daher gilt aufgrund der
Dreiecksungleichung
und der
geometrischen Reihe
für die Beziehung
Zu einem gegebenen wählt man mit . Dies zeigt, dass eine
Cauchy-Folge
vorliegt, die aufgrund der
Vollständigkeit
gegen ein
konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, sodass der Grenzwert sein muss.