Banachscher Fixpunktsatz/Fakt/Beweis

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Beweis (Banachscher Fixpunktsatz)

Es sei , , ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte

für alle . Wenn Fixpunkte sind, so folgt aus

sofort und somit , es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Sei nun ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

rekursiv definierte Folge in . Wir setzen . Dann gilt für jedes die Beziehung

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für die Beziehung

Zu einem gegebenen wählt man mit . Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert sein muss.