Banachscher Fixpunktsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $c\in ℝ$, $0\le c<1$, ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte

$d(f(x),f(y))\le c\cdot d(x,y)$

für alle  $x,y\in M$.  Wenn  $x,y\in M$  Fixpunkte sind, so folgt aus

$d(x,y)=d(f(x),f(y))\le c\cdot d(x,y)$

sofort  $d(x,y)=0$  und somit  $x=y$,  es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Es sei nun  $x\in M$  ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

$x_0=x\text{ und }{x}_n:=f^n(x):=f(x_{n-1})$

rekursiv definierte Folge in $M$. Wir setzen

$a=d(f(x),x).$

Dann gilt für jedes  $n\in \mathbb{N}$  die Beziehung

$d(f^{n+1}(x),f^n(x))\le c\cdot d(f^n(x),f^{n-1}(x))\le c^n\cdot d(f(x),x)=c^{n}a.$

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für  $n\ge m$  die Beziehung

$\begin{array}{cc}d(f^n(x),f^m(x))& \le d(f^n(x),f^{n-1}(x))+d(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x))+\cdots +d(f^{m+1}(x),f^m(x))\\ & \le a(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^m)\\ & =a{c}^m(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^2+c^1+1)\\ & \le c^{m}a\frac{1}{1-c}.\end{array}$

Zu einem gegebenen  $ϵ>0$  wählt man $n_0$ mit

$c^{n_0}a\frac{1}{1-c}\le ϵ.$

Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein  $y\in M$  konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses $y$ ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge ${(f(x_n))}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert gegen $f(y)$, da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, sodass der Grenzwert $y$ sein muss.

Zur bewiesenen Aussage