Benutzer:MartinThoma/EAZ

4. Semester: Datenbanken | Rechnernetze | Numerik | Sicherheit | KogSys | EAZ

Skript

Kapitel 2: Gruppen

• Bemerkung 2.1.7 a)

Frage: Wieso ist ein Homomorphismus $\varphi$ durch seine Einschränkung auf ein Erzeugendensystem von M festgelegt? Die Begründung leuchtet mir nicht ein.

Antwort: Sei $E=\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}$ ein Erzeugendensystem von $M$.

Sei außerdem $a=\prod _{e\in E}e^{r_{i}}\in M,\;r_{i}\in \mathbb {N} _{0}$ ein beliebiges Element aus $M$.

Eigentlich müsste man das noch etwas anders schreiben, da z.B. $e_{1}\cdot e_{2}\cdot e_{1}$ vorkommen könnte. Aber ich glaube es ist auch so klar, dass ich einfach die Art, wie $a$ erzeugt wurde, meine.

Es gilt: $\varphi (a)=\varphi \left(\prod _{e\in E}e^{r_{i}}\right){\stackrel {Hom.Eigenschaft}{=}}\prod _{e\in E}\varphi (e^{r_{i}})$

Kapitel 3: Ringe und Moduln

• Ist die Defintion einer Algebra äquivalent zu "Das Bild von $\sigma$ ist im Zentrum von $A$"?

Kapitel 4: Primideale

• Frage: S. 93, ganz oben: Warum ist es verboten, dass $\pi$ eine Einheit ist?

Antwort: Weil $\pi$ ein Primelement ist und daher per Definition weder eine Einheit noch 0 ist.

Kapitel 5: Endliche Körper

• S. 109f: Inwiefern unterscheidet sich das "klassische Legendre-Symbol" von der Variante für endliche Körper?
• S. 114, Beispiel 5.1.10: Warum gilt die dritte (vorletzte) Gleichheit? Man darf anscheinend Zähler modulo Nenner rechnen ... aber wo wird das begründet?

Übungsblätter

Blatt 9

• Aufgabe 43: Warum gilt $AJA=J$? Eigentlich ist mir die ganze Aufgabe nicht klar.

Blatt 10

• Aufgabe 2b), Lösung: Wieso ist $(\xi *\psi )(n)=0$ für alle $n>1$?

Blatt 12

Aufgabe 3

Frage: Wieso wird in der Lösung direkt angenommen, dass $R=\mathbb {Z}$ ist?

Klausuren

06.09.2011

Aufgabe 6

In der Lösung wird immer Paarweise von benachbarten Elementen der ggT und das kgV genommen. Warum klappt das nicht, wenn ich mit (1 2) anfange?

Warum klappt das hier nicht?

Weiteres

• Das Urbild einer Gruppe unter einem Gruppenhomomorphismus ist eine Gruppe (Beweis)
• Der Stabilisator einer Gruppenoperation ist eine Gruppe (Beweis)
• Der Schnitt von Normalteilern ist wieder ein Normalteiler (Beweis)
• What does “characteristic” mean in mathematics?
• Versuch, einen Wiki-Artikel über Elementarteiler zu beginnen: Elementarteiler
• Wie man das Legendre-Symbol einfach berechnet: Pseudocode