Beringter Raum/Lokal freie Garben/Kurze exakte Sequenz/Determinantengarbe/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei der Rang von und der Rang von . Wir betrachten offene Teilmengen , auf denen die drei beteiligten Garben trivialisieren und worauf die Garbensurjektion einen Schnitt besitzt. Solche offenen Mengen überdecken . Es liegt dann die Situation

vor und sei

ein Schnitt. Wir definieren

durch

Diese Abbildung ist unabhängig vom gewählten Schnitt . Für einen weiteren Schnitt liegt ja in . Doch dann ist

da ja stets eine lineare Abhängigkeit zwischen den Vektoren vorliegt und daher die entsprechenden Dachprodukte sind. Die Abbildung ist bilinear und definiert daher eine lineare Abbildung

Da die Abbildungen kanonisch sind, induzierten sie auf kleineren offenen Teilmengen stets die gleiche Abbildung. Daher verkleben sie nach Fakt zu einem Garbenhomomorphismus

Dieser ist lokal aufgrund der expliziten Beschreibung ein Isomorphismus, also nach Fakt auch global ein Isomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage