Moduln/Multilinear/Definition

Multilinear

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ ${}R$-Moduln. Eine Abbildung

$\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

heißt ${}R$-multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{j}\in V_{j}$) die induzierte Abbildung

$V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},$

${}R$-linear ist.