Beweis
Es sei
eine
offene Teilmenge.
Wir betrachten die Prägarbe
-
![{\displaystyle {}{\mathcal {P}}{\left(V\right)}:={\begin{cases}{\mathcal {O}}_{X}(V),{\text{ falls }}V\subseteq U,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db7c9f13b7412db1c629ce7e4b92b8e8038f382)
und nennen die
Vergarbung
davon
. Der natürliche Prägarbenhomomorphismus
führt nach
Fakt (4)
zu einem Garbenhomomorphismus
-
Dieser ist injektiv. Es ist
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{U},{\mathcal {I}}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {I}}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5378d2e6bb15dc817a952057d35cfd8302d6c4)
Da
injektiv ist, lässt sich jedes Element daraus zu einem Element aus
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {I}}\right)}=\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb45ec72844238005f0a31f58e3ed353d8c76b40)
fortsetzen. Dies bedeutet, dass die Restriktionsabbildung
surjektiv ist.