Prägarbe/Vergarbung/Fakt

Vergarbungssatz

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ${}X$ und ${}{\widetilde {\mathcal {F}}}$ die Vergarbung zu ${}{\mathcal {F}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es gibt einen natürlichen Prägarben-Morphismus

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}},$

   der durch

   ${\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}(U),\,s\longmapsto {\left(s_{P}\right)}_{P\in U},$

   gegeben ist.

2. Es ist

   ${}{\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}\cong {\mathcal {F}}_{P}\,$

   für jeden Punkt  ${}P\in X$. 

3. Die Vergarbung ist eine Garbe.
4. Wenn ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe ist, so ist die natürliche Morphismus ${}{\mathcal {F}}\rightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}$ ein Isomorphismus.
5. Zu jedem Prägarben-Morphismus

   $\psi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

   in eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ gibt es eine eindeutige Faktorisierung

   ${\tilde {\psi }}\colon {\widetilde {\mathcal {F}}}\longrightarrow {\mathcal {G}}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen