Binomiale Gleichung/x^2-x/xy-y/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-x,xy-y).$

Das Nullstellengebilde besteht aus dem isolierten Punkt ${}(0,0)$ und der durch ${}x=1$ gegebenen Geraden. Dieses Gebilde ist glatt und besitzt eine nulldimensionale und eine eindimensionale Komponente. Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

${\begin{pmatrix}2x-1&0\\y&x-1\end{pmatrix}}.$

Im isolierten Nullpunkt besitzt die Matrix den Rang ${}2$ und man kann den Satz über die implizite Abbildung bzw. die entsprechende Definition anwenden (und erhält wieder, dass lokal die Faser nulldimensional ist). In einem Punkt der Form ${}(1,y)$ ist der Rang gleich ${}1$ und man kann diesen Satz nicht anwenden. Da die direkte Betrachtung gezeigt hat, dass in diesen Punkten lokal die Dimension der Faser gleich ${}1$ ist, können wir die Definition anwenden und auf Glattheit schließen.