Binomiale Gleichung/x^2-x/xy-y/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel

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Wir betrachten die Abbildung

Das Nullstellengebilde besteht aus dem isolierten Punkt und der durch gegebenen Geraden. Dieses Gebilde ist glatt und besitzt eine nulldimensionale und eine eindimensionale Komponente. Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

Im isolierten Nullpunkt besitzt die Matrix den Rang und man kann den Satz über die implizite Abbildung bzw. die entsprechende Definition anwenden (und erhält wieder, dass lokal die Faser nulldimensional ist). In einem Punkt der Form ist der Rang gleich und man kann diesen Satz nicht anwenden. Da die direkte Betrachtung gezeigt hat, dass in diesen Punkten lokal die Dimension der Faser gleich ist, können wir die Definition anwenden und auf Glattheit schließen.