Binomialkoeffizient/Lehrsatz/Textabschnitt

Definition

Zu einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die Zahl

n! := n (n - 1) (n - 2) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1

die Fakultät von $n$ (sprich $n$ Fakultät).

Definition

Es seien $k$ und $n$ natürliche Zahlen mit $k \leq n$ . Dann nennt man

(\binom{n}{k}) := \frac{n!}{k! (n - k)!}

den Binomialkoeffizienten „ $n$ über $k$ “.

Von der Definition her ist es nicht sofort klar, dass $k! (n - k)!$ ein Teiler von $n!$ ist und dass es sich somit bei den Binomialkoeffizienten um natürliche Zahlen handelt. Dies folgt aus der folgenden Beziehung.

Satz

Die Anzahl der $k$ -elementigen Teilmengen in einer $n$ -elementigen Menge ist

der Binomialkoeffizient

$(\binom{n}{k}) .$

Insbesondere sind die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen.

Beweis

Es sei $M$ eine $n$ -elementige Menge und

T \subseteq M

eine $k$ -elementige Teilmenge. Wir betrachten die Menge aller bijektiven Abbildungen

{1, \dots, n} ⟶ M,

die zusätzlich ${1, \dots, k}$ auf $T$ (und damit) ${k + 1, \dots, n}$ auf $M ∖ T$ abbilden. Nach Fakt und nach Fakt gibt es $k! \cdot (n - k)!$ solche Abbildungen. Insgesamt gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von ${1, \dots, n}$ nach $M$ . Daher ist

(Anzahl der k -elementigen Teilmengen von M) \cdot k! \cdot (n - k)! = n! .

Insbesondere ist $k! \cdot (n - k)!$ ein Teiler von $n!$ und es ist

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

die Anzahl der $k$ -elementigen Teilmengen von $M$ .

◻

Bemerkung

Für die Binomialkoeffizienten gilt die Regel

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k}),

wie unmittelbar aus der Definition folgt. Dies kann man sich auch mit Hilfe von Fakt klar machen. Die Komplementabbildung

𝔓 (M) ⟶ 𝔓 (M), T ⟼ ∁ T,

auf einer $n$ -elementigen Menge $M$ ist bijektiv und bildet $k$ -elementige Teilmengen auf $(n - k)$ -elementige Teilmengen ab.

Den Binomialkoeffizienten $(\binom{n}{k})$ kann man auch als

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) & = \frac{n!}{k! (n - k)!} \\ = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \dots (n - k + 2) (n - k + 1) \cdot (n - k) \cdot (n - k - 1) \dots 2 \cdot 1}{(k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \dots 2 \cdot 1) \cdot ((n - k) \cdot (n - k - 1) \dots 2 \cdot 1)} \\ = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \dots (n - k + 2) \cdot (n - k + 1)}{k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \dots 2 \cdot 1} \end{matrix}

schreiben, da die Faktoren aus $(n - k)!$ auch in $n!$ vorkommen und daher kürzbar sind. In dieser Darstellung stehen im Zähler und im Nenner gleich viele Faktoren. Gelegentlich ist es sinnvoll, auch negative $k$ oder $k > n$ zuzulassen und in diesen Fällen die Binomialkoeffizienten gleich $0$ zu setzen. Dies passt zur Interpretation in Fakt.

Beispiel

In der vierelementigen Menge ${a, b, c, d}$ gibt es

(\binom{4}{2}) = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6

zweielementige Teilmengen. Diese sind

{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} .

Beispiel

In einer $49$ -elementigen Menge gibt es genau

(\binom{49}{6}) = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13983816

$6$ -elementige Teilmengen. Es gibt also so viele mögliche Zahlenkombinationen beim Lotto „Sechs aus 49 “. Der Kehrwert von dieser Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto sechs Richtige zu haben. Es werden dabei die Teilmengen gezählt, nicht die möglichen Ziehreihenfolgen. Die Anzahl der möglichen Ziehreihenfolgen ist

49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44,

zu jeder sechselementigen Teilmenge gibt es $6!$ mögliche Ziehreihenfolgen, die auf diese Teilmenge führen.

Lemma

Die Binomialkoeffizienten

erfüllen die rekursive Beziehung

$(\binom{n + 1}{k}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) .$

Beweis

Es ist

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) & = \frac{n!}{(n - k)! k!} + \frac{n!}{(n - (k - 1))! (k - 1)!} \\ = \frac{n!}{(n - k)! k!} + \frac{n!}{(n + 1 - k)! (k - 1)!} \\ = \frac{(n + 1 - k) \cdot n!}{(n + 1 - k)! k!} + \frac{k \cdot n!}{(n + 1 - k)! k!} \\ = \frac{(n + 1 - k + k) \cdot n!}{(n + 1 - k)! k!} \\ = \frac{(n + 1)!}{(n + 1 - k)! k!} \\ = (\binom{n + 1}{k}) . \end{matrix}

◻

Wir geben noch einen zweiten Beweis für diese Aussage, der sich an der inhaltlichen Beschreibung als Teilmengenanzahl orientiert.

Es sei $M$ eine $(n + 1)$ -elementige Menge und $x \in M$ ein fixiertes Element. Nach Fakt ist die Anzahl der $k$ -elementigen Teilmengen von $M$ gleich $(\binom{n + 1}{k})$ . Eine solche Teilmenge enthält entweder $x$ oder aber nicht. Im ersten Fall entspricht dann eine solche Teilmenge einer $(k - 1)$ -elementigen Teilmenge von $M ∖ {x}$ , das ergibt den Summanden $(\binom{n}{k - 1})$ . Im zweiten Fall entspricht eine solche Teilmenge einer $k$ -elementigen Teilmenge von $M ∖ {x}$ , das ergibt den Summanden $(\binom{n}{k})$ .

Die folgende allgemeine binomische Formel bringt die Addition und die Multiplikation in einem Körper miteinander in Beziehung.

Satz

Es seien $a, b$ Elemente in einem Körper. Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k} .$

Beweis

Wir führen Induktion nach $n$ . Für $n = 0$ steht einerseits $(a + b)^{0} = 1$ und andererseits $a^{0} b^{0} = 1$ . Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist

\begin{matrix} (a + b)^{n + 1} & = (a + b) (a + b)^{n} \\ = (a + b) (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}) \\ = a (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}) + b (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k + 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n}{k - 1}) a^{k} b^{n - k + 1} + \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k + 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} ((\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k})) a^{k} b^{n + 1 - k} + b^{n + 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} + b^{n + 1} \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} . \end{matrix}

◻