Borel-Lebesgue-Maß/Topologische Eigenschaften/Fakt

Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. Für alle beschränkten und insbesondere für alle kompakten Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist ${}\lambda ^{n}(T)<\infty$.
2. Für jede messbare Menge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T)=\operatorname {inf} (\lambda ^{n}(U),T\subseteq U{\text{ offen}})\,.$

3. Für jede messbare Menge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T)=\operatorname {sup} (\lambda ^{n}(A),A\subseteq T,\,A{\text{ abgeschlossen}})\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen