Borel-Lebesgue-Maß/Topologische Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Eigenschaft ist klar. Die zweite Eigenschaft folgt aus Fakt mit offenen Quaderüberpflasterungen.

Zum Nachweis von (3) können wir annehmen, dass ${}\lambda ^{n}(T)$ endlich ist.

Wir betrachten die Durchschnitte

${}T_{r}=T\cap B\left(0,r\right)\,.$

Da die Bälle den Raum ausschöpfen, konvergieren die Volumina nach Fakt  (5) gegen das von ${}T$. Wir können also ${}T$ durch ${}T_{r}$ ersetzen (beispielsweise mit einer Maßabweichung von ${}\epsilon /2$) und dann annehmen, dass  ${}T\subseteq U{\left(0,s\right)}\subset U{\left(0,r\right)}$  ist. Wir betrachten

${}T'=U{\left(0,r\right)}\setminus T\subseteq U{\left(0,r\right)}\,.$

Nach Teil (2) können wir das Volumen von ${}T'$ beliebig gut durch offene Mengen von oben approximieren, von den wir ferner annehmen können, dass sie in ${}U{\left(0,r\right)}$ liegen, sagen wir

${}T'\subseteq U'\subseteq U{\left(0,r\right)}\,$

mit

${}\lambda ^{n}(U')-\lambda ^{n}(T')\leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$

Dann ist

${}A'=B(0,r)\cap {\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U'\right)}\subseteq B(0,r)\cap {\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus T'\right)}=T\,$

eine abgeschlossene Teilmenge von ${}T$ und die Volumenabweichung ist wie zuvor.

Zur bewiesenen Aussage