Beweis
Die erste Eigenschaft ist klar. Die zweite Eigenschaft folgt aus
Fakt
mit offenen Quaderüberpflasterungen.
Zum Nachweis von (3) können wir annehmen, dass endlich ist.
Wir betrachten die Durchschnitte
-
Da die Bälle den Raum ausschöpfen, konvergieren die Volumina nach
Fakt (5)
gegen das von . Wir können also durch ersetzen
(beispielsweise mit einer Maßabweichung von )
und dann annehmen, dass
ist. Wir betrachten
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Nach Teil (2) können wir das Volumen von beliebig gut durch offene Mengen von oben approximieren, von den wir ferner annehmen können, dass sie in liegen, sagen wir
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mit
-
Dann ist
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eine abgeschlossene Teilmenge von und die Volumenabweichung ist wie zuvor.