Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Sei die kanonische Primfaktorzerlegung. Nach dem chinesischen Restsatz ist

Sei eine zu teilerfremde Zahl und sei vorausgesetzt, dass eine Carmichael-Zahl ist. Dann ist insbesondere

für jeden Index . Wählt man für ein primitives Element in (was nach Fakt möglich ist; für ist nichts zu zeigen), so hat dies die Ordnung . Da ein Vielfaches der Ordnung ist und da und teilerfremd sind, folgt, dass ein Vielfaches von ist. Bei gibt es Elemente der Ordnung in (auch bei ), und es ergibt sich der Widerspruch . Also sind alle Exponenten einfach.

Für die Umkehrung ist nach Voraussetzung . Sei wieder eine Einheit. Dann ist

Also ist eine Carmichael-Zahl.