Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir fassen die Matrix $X E_{n} - M$ als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper $K (X)$ liegen. Die adjungierte Matrix

(X E_{n} - M)^{adj}

liegt ebenfalls in ${Mat}_{n} (K (X))$ . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von $(n - 1) \times (n - 1)$ -Untermatrizen von $X E_{n} - M$ . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der $(n - 1)$ -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben

(X E_{n} - M)^{adj} = X^{n - 1} A_{n - 1} + X^{n - 2} A_{n - 2} + \dots + X A_{1} + A_{0}

mit Matrizen

A_{i} \in {Mat}_{n} (K),

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynome in $X$ und fasst dann die Koeffizienten zu $X^{i}$ zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Fakt gilt

\begin{matrix} χ_{M} E_{n} & = (X E_{n} - M) \circ (X E_{n} - M)^{adj} \\ = (X E_{n} - M) \circ (X^{n - 1} A_{n - 1} + X^{n - 2} A_{n - 2} + \dots + X A_{1} + A_{0}) \\ = X^{n} A_{n - 1} + X^{n - 1} (A_{n - 2} - M \circ A_{n - 1}) + X^{n - 2} (A_{n - 3} - M \circ A_{n - 2}) + \dots + X^{1} (A_{0} - M \circ A_{1}) - M \circ A_{0} . \end{matrix}

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist

χ_{M} E_{n} = X^{n} E_{n} + X^{n - 1} c_{n - 1} E_{n} + X^{n - 2} c_{n - 2} E_{n} + \dots + X^{1} c_{1} E_{n} + c_{0} E_{n} .

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen

\begin{matrix} E_{n} & = & A_{n - 1} \\ c_{n - 1} E_{n} & = & A_{n - 2} - M \circ A_{n - 1} \\ c_{n - 2} E_{n} & = & A_{n - 3} - M \circ A_{n - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{1} E_{n} & = & A_{0} - M \circ A_{1} \\ c_{0} E_{n} & = & - M \circ A_{0} . \end{matrix}

Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit $M^{n}, M^{n - 1}, M^{n - 2}, \dots, M^{1}, E_{n}$ und erhalten das Gleichungssystem

\begin{matrix} M^{n} & = & M^{n} \circ A_{n - 1} \\ c_{n - 1} M^{n - 1} & = & M^{n - 1} \circ A_{n - 2} - M^{n} \circ A_{n - 1} \\ c_{n - 2} M^{n - 2} & = & M^{n - 2} \circ A_{n - 3} - M^{n - 1} \circ A_{n - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{1} M^{1} & = & M A_{0} - M^{2} \circ A_{1} \\ c_{0} E_{n} & = & - M \circ A_{0} . \end{matrix}

Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade $χ_{M} (M)$ . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$ , da jeder Teilsummand $M^{i + 1} \circ A_{i}$ einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist

χ_{M} (M) = 0

.

Zur gelösten Aufgabe