Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Verbindender Homomorphismus/Übereinstimmung/Fakt

Es sei ${}{\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{0}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ und es sei eine azyklische Auflösung ${}{\mathcal {Z}}^{\bullet }$ von ${}{\mathcal {F}}$ mit zugehörigen kurzen exakten Sequenzen

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}_{n+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

gegeben. Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit ${}H^{k}(\bigcap _{i\in J}U_{i},{{\mathcal {F}}_{n}})=0$ für alle nichtleeren Teilmengen ${}J\subseteq I$ und alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann ist

${}{\check {H}}^{k}(U_{i},{\mathcal {F}})=H^{k}(X,{\mathcal {F}})\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen