Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Injektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schließen an den Beweis zu Fakt an und rekapitulieren die Konstruktion der Abbildung. Es sei ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Es sei ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$ durch

${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$

mit ${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ gegeben. Die ${}r_{ij}$ fassen wir in ${}{\mathcal {I}}$ als globale Elemente auf und definieren

${}s_{i}:=r_{i1}\,,$

die wir auf ${}U_{i}$ auffassen. Diese Elemente ${}s_{i}$ definieren Elemente

${}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,$

die einem globalen Element

${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,$

entsprechen. Dieses legt

${}\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,$

fest und das ist das Bild der Čech-Klasse. Es sei nun

${}\delta (t)=0\,$

vorausgesetzt. Dann gibt es ein globales Element ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$, das auf ${}I$ abbildet. Es werden dann die ${}s-s_{i}$ auf ${}0$ abgebildet und daher ist ${}s-s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$. Daher ist

${}s-s_{j}-(s-s_{i})=s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}\,$

und die Čech-Klasse ist trivial.

Zur bewiesenen Aussage