Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Zerlegung/Direkte Summe/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach dem Lemma von Bezout gibt es Polynome mit

Sei und . Sei . Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist

und somit gehört das Bild von zum Kern von und umgekehrt. Aus

kann man ablesen, dass der linke Summand zu und der rechte Summand zu gehört. Es liegt also eine Summenzerlegung vor, die direkt ist, da aus sofort folgt. Für die -Invarianz der Räume siehe Aufgabe. Zu ist

d.h. es gilt und somit ist die Einschränkung von auf den Kern von surjektiv, also bijektiv.