Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}]\,$

mit ${}\theta _{i}$ algebraisch unabhängig, und es sei ${}\operatorname {grad} \,(\theta _{i})=d_{i}$. Es sei ${}H\subseteq G$ die durch alle Pseudoreflektionen erzeugte Untergruppe. Aufgrund der Hinrichtung des Satzes von Chevalley-Shephard-Todd wissen wir bereits

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{H}=K[\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}]\supseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\,$

mit ${}\operatorname {grad} \,(\psi _{j})=e_{j}$ und ${}\psi _{j}$ algebraisch unabhängig. Jedes ${}\theta _{i}$ ist ein Polynom in den ${}\psi _{j}$. Wir können annehmen, dass beide Polynomfamilien nach aufsteigendem Grad geordnet sind, es ist also ${}d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{n}$ und ${}e_{1}\leq e_{2}\leq \ldots \leq e_{n}$. Dabei muss

${}e_{i}\leq d_{i}\,$

für alle ${}i$ gelten, da andernfalls nach Aufgabe

${}K[\theta _{1},\ldots ,\theta _{i}]\subseteq K[\psi _{1},\ldots ,\psi _{i-1}]\,$

gelten würde, was aber wegen der algebraischen Unabhängigkeit der Familien nicht sein kann. Es sei ${}r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in ${}G$ und in ${}H$. Nach Fakt ist

${}r=\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)=\sum _{i=1}^{n}(e_{i}-1)\,.$

Daher muss ${}e_{i}=d_{i}$ gelten. Damit ist aber

${}\vert {G}\vert =d_{1}\cdots d_{n}=e_{1}\cdots e_{n}=\vert {H}\vert \,$

und damit

${}H=G\,.$

Zur bewiesenen Aussage

[[Kategorie:Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Fakt/Beweise]] [[Kategorie:Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Fakt/Beweise]] [[Kategorie:Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Fakt/Beweise]]