Beweis
Es sei
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![{\displaystyle {}L=K[x]=K[X]/(F)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64208a368c6dfee6fdcc71e43bfa65c7425a4820)
mit einem normierten Polynom 
, was es
nach dem Satz vom primitiven Element
gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen
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![{\displaystyle {}R\subseteq R[x]\cong R[X]/(F)\subseteq S\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e7099fde2fd38080bdc870653a3538e1d6ef20)
wobei 
die Normalisierung von ![{\displaystyle {}R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77bd0e38f6af208e57551aa1738048da88f1c7e)
ist. Es sei
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![{\displaystyle {}S=R[x][{\frac {g_{1}}{f_{1}}},\ldots ,{\frac {g_{n}}{f_{n}}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71eb7dd460bd81e87b704d7e1e922db289b5b026)
mit
![{\displaystyle {}g_{i},f_{i}\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ad2dcc82e26771577ff5bfdcad54341c0d417a)
und wobei wir
annehmen dürfen. Sei
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Dann ist
-
![{\displaystyle {}R_{f}[x]=R[x]_{f}=S_{f}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167cfc52fe81d742d685ac551e7a8bc4261e4849)
Das heißt, dass oberhalb von 
der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von 
nur endlich viele Primideale in 
gibt, genügt es zu zeigen, dass in 
nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also
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![{\displaystyle {}S=R[x]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85ef5e5224fa34a55946437a24577e90c683d70)
als
monogen
annehmen. Wir betrachten das von
und 
erzeugte Ideal in ![{\displaystyle {}R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7ee29b3b3d6eeb3b39f218ba987877e85928bd)
. Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in ![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
das Einheitsideal, was in bedeutet, dass es Polynome 
gibt mit
-
mit
.
Dies heißt wiederum, dass in ![{\displaystyle {}R_{g}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ee7e66c16c1cd2531a5869ecf3d59846a41a5b)
die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach
Fakt
auf 
keine Verzweigung statt. Oberhalb von 
gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus verzweigen nicht.
