Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir starten mit einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$  und vergleichen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}\operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. Es sei zunächst  ${}f\in {\mathfrak {a}}$.  Es ist dann  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq \operatorname {min} {\left\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\mid g\in {\mathfrak {a}}\right\}}$  für jedes Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$,  sodass natürlich  ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$  gilt. Also ist  ${}f\in \operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$.  Ist hingegen  ${}f\notin {\mathfrak {a}}$,  so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  mit  ${}f\notin {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$.  Da ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist, gilt  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)<\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}})$.  Also ist  ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\not \geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$  und somit  ${}f\notin \operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$.  Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivität ergibt sich aus Fakt  (1) in Verbindung mit Fakt  (2), was auch den Zusatz ergibt.

Zur bewiesenen Aussage