Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir starten mit einem Ideal  $𝔞\ne 0$  und vergleichen $𝔞$ und $\mathrm{Id}(\mathrm{div}\left(𝔞\right))$. Es sei zunächst  $f\in 𝔞$.  Es ist dann  ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right)\ge \min \{{\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(g\right)\mid g\in 𝔞\}$  für jedes Primideal  $𝔭\ne 0$,  sodass natürlich  $\mathrm{div}\left(f\right)\ge \mathrm{div}\left(𝔞\right)$  gilt. Also ist  $f\in \mathrm{Id}(\mathrm{div}\left(𝔞\right))$.  Ist hingegen  $f\notin 𝔞$,  so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal  $𝔭\ne 0$  mit  $f\notin 𝔞R_{𝔭}$.  Da $R_{𝔭}$ ein diskreter Bewertungsring ist, gilt  ${\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(f\right)<{\mathrm{ord}}_{𝔭}\left(𝔞\right)$.  Also ist  $\mathrm{div}\left(f\right)\ge ̸\mathrm{div}\left(𝔞\right)$  und somit  $f\notin \mathrm{Id}(\mathrm{div}\left(𝔞\right))$.  Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivität ergibt sich aus Fakt  (1) in Verbindung mit Fakt  (2), was auch den Zusatz ergibt.

Zur bewiesenen Aussage