Dedekindscher Schnitt/Reeller Punktschnitt/Fakt/Beweis

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Beweis

Es seien und . Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung mit und . Wir setzen und . Wenn und schon definiert sind, so setzen wir

und

Damit ist stets , und insbesondere , die Folgen sind wachsend bzw. fallend und die Intervalllänge wird in jedem Schritt halbiert. Somit liegt eine Intervallschachtelung vor. Nach Fakt gibt es genau eine reelle Zahl , die in allen Intervallen liegt. Wir behaupten, dass dieses der trennende Punkt ist, d.h. wir müssen

zeigen. Es sei zunächst . Dann ist für jedes und somit ist . Da mit auch noch größere Elemente enthält, sagen wir , gilt sogar . Wenn dagegen , also ist, so zeigt die gleiche Argumentation mit vertauschten Rollen die Beziehung .