Dedekindscher Schnitt/Reeller Punktschnitt/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}a\in A$ und ${}b\in B$. Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung ${}[a_{n},b_{n}]$ mit  ${}a_{n}\in A$  und  ${}b_{n}\in B$.  Wir setzen  ${}a_{0}:=a$  und  ${}b_{0}:=b$.  Wenn ${}a_{n}$ und ${}b_{n}$ schon definiert sind, so setzen wir

${}a_{n+1}={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\in A\,,\\a_{n}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und

${}b_{n+1}={\begin{cases}b_{n},{\text{ falls }}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\in A\,,\\{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Damit ist stets  ${}a_{n}\in A$,   ${}b_{n}\in B$  und insbesondere  ${}a_{n}<b_{n}$,  die Folgen sind wachsend bzw. fallend und die Intervalllänge wird in jedem Schritt halbiert. Somit liegt eine Intervallschachtelung vor. Nach Fakt gibt es genau eine reelle Zahl ${}x$, die in allen Intervallen ${}[a_{n},b_{n}]$ liegt. Wir behaupten, dass dieses ${}x$ der trennende Punkt ist, d.h. wir müssen

${}A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,$

zeigen. Es sei zunächst  ${}q\in A$.  Dann ist  ${}q<b_{n}$  für jedes ${}n$ und somit ist  ${}q\leq \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=x$.  Da ${}A$ mit ${}q$ auch noch größere Elemente enthält, sagen wir  ${}q<q'\in A$,  gilt sogar  ${}q<q'\leq x$.  Wenn dagegen  ${}q\notin A$,  also  ${}q\in B$  ist, so zeigt die gleiche Argumentation mit vertauschten Rollen die Beziehung  ${}q\geq x$. 

Zur bewiesenen Aussage