Beweis
Es seien
und .
Wir definieren rekursiv eine
Intervallschachtelung
mit
und
.
Wir setzen
und
.
Wenn und schon definiert sind, so setzen wir
-
und
-
Damit ist stets
,
und insbesondere
,
die Folgen sind wachsend bzw. fallend und die Intervalllänge wird in jedem Schritt halbiert. Somit liegt eine Intervallschachtelung vor. Nach
Fakt
gibt es genau eine reelle Zahl , die in allen Intervallen liegt. Wir behaupten, dass dieses der trennende Punkt ist, d.h. wir müssen
-
zeigen. Es sei zunächst
.
Dann ist
für jedes und somit ist
.
Da mit auch noch größere Elemente enthält, sagen wir
,
gilt sogar
.
Wenn dagegen
,
also
ist, so zeigt die gleiche Argumentation mit vertauschten Rollen die Beziehung
.