Dedekindscher Schnitt/Reeller Punktschnitt/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}a\in A$ und ${}b\in B$. Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung ${}[a_{n},b_{n}]$ mit ${}a_{n}\in A$ und ${}b_{n}\in B$. Wir setzen ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$. Wenn ${}a_{n}$ und ${}b_{n}$ schon definiert sind, so setzen wir

${}a_{n+1}={\begin{cases}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},{\text{ falls }}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\in A\,,\\a_{n}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und

${}b_{n+1}={\begin{cases}b_{n},{\text{ falls }}{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\in A\,,\\{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Damit ist stets ${}a_{n}\in A$, ${}b_{n}\in B$ und insbesondere ${}a_{n}<b_{n}$, die Folgen sind wachsend bzw. fallend und die Intervalllänge wird in jedem Schritt halbiert. Somit liegt eine Intervallschachtelung vor. Nach Fakt gibt es genau eine reelle Zahl ${}x$, die in allen Intervallen ${}[a_{n},b_{n}]$ liegt. Wir behaupten, dass dieses ${}x$ der trennende Punkt ist, d.h. wir müssen

${}A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,$

zeigen. Es sei zunächst ${}q\in A$. Dann ist ${}q<b_{n}$ für jedes ${}n$ und somit ist ${}q\leq \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=x$. Da ${}A$ mit ${}q$ auch noch größere Elemente enthält, sagen wir ${}q<q'\in A$, gilt sogar ${}q<q'\leq x$. Wenn dagegen ${}x\notin A$, also ${}x\in B$ ist, so zeigt die gleiche Argumentation mit vertauschten Rollen die Beziehung ${}q\geq x$.

Zur bewiesenen Aussage