Beweis
Wir fixieren die Matrix
.
Es sei zunächst
.
Dann ist nach
Fakt
die Matrix
nicht
invertierbar
und damit ist auch
nicht invertierbar und somit wiederum
. Es sei nun
invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung
-
Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung
ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und
Fakt
anwenden. Wenn
die Zeilen von
sind, so ergibt sich
, indem man auf die Zeilen
die Determinante anwendet und mit
multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus
Aufgabe.
Wenn man mit
startet, so ist
und daher ist
-
![{\displaystyle {}\delta (E_{n})=(\det B)\cdot (\det B)^{-1}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ec824b8e8c1c5712fecc057180d1628fcbf46c)