Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir fixieren die Matrix $B$. Es sei zunächst  $detB=0$.  Dann ist nach Fakt die Matrix $B$ nicht invertierbar und damit ist auch $A\circ B$ nicht invertierbar und somit wiederum  $detA\circ B=0$.  Es sei nun $B$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

$\delta :{\mathrm{Mat}}_n(K)⟶K,A⟼(detA\circ B)(detB{)}^{-1}.$

Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung $A\mapsto detA$ ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn $z_1,\dots ,z_n$ die Zeilen von $A$ sind, so ergibt sich $\delta (A)$, indem man auf die Zeilen $z_{1}B,\dots ,z_{n}B$ die Determinante anwendet und mit $(detB{)}^{-1}$ multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit  $A=E_n$  startet, so ist  $A\circ B=B$  und daher ist

$\delta (E_n)=(detB)\cdot (detB{)}^{-1}=1.$

Zur gelösten Aufgabe