Determinante/Multiplikationssatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir fixieren die Matrix . Es sei zunächst . Dann ist nach Fakt die Matrix nicht invertierbar und damit ist auch nicht invertierbar und somit wiederum . Sei nun invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn die Zeilen von sind, so ergibt sich , indem man auf die Zeilen die Determinante anwendet und mit multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit startet, so ist und daher ist


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