Dezimalbruchfolge/Divisionsalgorithmus/Zusammenfassung/Bemerkung

Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form

x_{n} = \frac{a_{n}}{1 0^{n}} = \sum_{i = 0}^{n} z_{- i} 1 0^{- i} = z_{0}, z_{- 1} z_{- 2} z_{- 3} \dots z_{- n}

mit $a_{n} \in ℤ$ (bzw. mit Ziffern $z_{- i} \in {0, 1, \dots, 9}$ ) und mit

\frac{a_{n}}{1 0^{n}} \leq \frac{a_{n + 1}}{1 0^{n + 1}} < \frac{a_{n} + 1}{1 0^{n}} .

Eine solche Folge, also eine „Kommazahl“, muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen $a, b$ starten und den Divisionsalgorithmus $a : b$ durchführen, um die Ziffern $z_{- i}$ zu erhalten, so konvergiert nach Fakt die zugehörige Dezimalbruchfolge

x_{n} = \sum_{i = 0}^{n} z_{- i} 1 0^{- i}

gegen die rationale Zahl $\frac{a}{b}$ .