Diagonalmatrix/Orthogonalbasis/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel

Die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

besitze eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarproduktes) ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ aus Eigenvektoren, d.h. die beschreibende Matrix besitzt die Diagonalgestalt

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda _{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}.$

Dann wird der adjungierte Endomorphismus durch die komplex-konjugierte Matrix

${}\psi ={\begin{pmatrix}{\overline {\lambda }}_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\overline {\lambda }}_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\overline {\lambda }}_{n}\end{pmatrix}}\,$

beschrieben. Es ist ja einerseits

${}\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle =\left\langle \lambda _{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =\lambda _{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \,$

und andererseits

${}\left\langle u_{i},\psi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},{\overline {\lambda _{j}}}u_{j}\right\rangle =\lambda _{j}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \,.$

Bei ${}i\neq j$ ist dies beides gleich ${}0$ und bei ${}i=j$ steht beidseitig ${}\lambda _{i}$.