Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt/Beweis

Beweis

Die Zuordnung ${}S\mapsto \lambda ^{n}(\varphi (S))$ für messbare Mengen ${}S\subseteq G$ ist ein Maß auf ${}{\mathcal {B}}(G)$ und zwar handelt es sich um das Bildmaß ${}\varphi _{*}^{-1}\lambda ^{n}$ von ${}\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G.$

Nach Fakt besitzt dieses Maß die Dichte ${}x\mapsto \vert {(J(\varphi ))(x)}\vert$. Daher gilt nach Aufgabe und der allgemeinen Transformationsformel

${}{\begin{aligned}\int _{G}(f\circ \varphi )\cdot \vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}&=\int _{G}(f\circ \varphi )\,d(\varphi _{*}^{-1}\lambda ^{n})\\&=\int _{H}(f\circ \varphi \circ \varphi ^{-1})\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{H}f\,d\lambda ^{n}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage