Differentialform/Exakt/Stammform/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}\varphi ,\psi \colon U\rightarrow W$ Stammformen für die exakte Differentialform, d.h. es gilt

   ${}{\left(D\varphi \right)}=\omega ={\left(D\psi \right)}\,.$

   Dann ist

   ${}{\left(D(\varphi -\psi )\right)}=\omega -\omega =0\,,$

   es ist also zu zeigen, dass die Nullform nur die konstanten Abbildungen als Stammformen besitzt. Es seien ${}P,Q$ Punkte in ${}U$ und sei ${}\gamma$ ein stetig differenzierbarer Weg, der ${}P$ und ${}Q$ verbindet. Für das Wegintegral zur Nullform ${}N$ über ${}\gamma$ und einer Stammform ${}\theta$ gilt nach Fakt

   ${}0=\int _{\gamma }N=\theta (Q)-\theta (P)\,,$

   d.h. ${}\theta$ ist konstant.

2. Nach Fakt besitzt ${}\omega$ auf ${}S$ eine Stammform, sagen wir ${}\varphi$, und ebenso besitzt ${}\omega$ auf ${}T$ eine Stammform, sagen wir ${}\psi$. Es sei ${}P\in S\cap T$ ein Punkt des Durchschnittes. Wir ersetzen die Stammform ${}\psi$ auf ${}T$ durch die verschobene Stammform

   ${}{\tilde {\psi }}=\psi +\varphi (P)-\psi (P)\,.$

   Es ist dann

   ${}{\tilde {\psi }}(P)=\varphi (P)\,.$

   Da ${}S\cap T$ zusammenhängend ist, unterscheiden sich zwei Stammformen darauf nur um eine Konstante. Daher stimmt die Stammform ${}\varphi$, eingeschränkt auf ${}S\cap T$, mit der Stammform ${}{\tilde {\psi }}$, eingeschränkt auf ${}S\cap T$, überein, da sie in einem Punkt übereinstimmen. Die beiden Stammformen ${}\varphi$ und ${}{\tilde {\psi }}$ passen also auf der Übergangsmenge ${}S\cap T$ zusammen und definieren daher auf ${}S\cup T$ eine Stammform.

Zur gelösten Aufgabe