Differentialform/Exakt/Stammform/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume.

1. Es sei ${}U\subseteq V$ eine zusammenhängende offene Menge und sei ${}\omega \colon U\rightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$ eine exakte Differentialform auf ${}U$. Zeige, dass die Stammform zu ${}\omega$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
2. Es seien ${}S,T\subseteq V$ offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass ${}S\cap T$ zusammenhängend ist. Es sei

   $\omega \colon S\cup T\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$

   eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass ${}\omega$ exakt ist.

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