Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Sternförmig/Exakt und geschlossen/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetig differenzierbare ${}1$-Differentialform auf ${}U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\omega$ exakt.
2. Es ist ${}\omega$ geschlossen.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen