Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Sternförmig/Exakt und geschlossen/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $U\subseteq V$  eine sternförmige offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetig differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist $\omega$ exakt.
2. Es ist $\omega$ geschlossen.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma :[a,b]\to U$ hängt das Wegintegral ${\int }_{\gamma }\omega$ nur vom Anfangspunkt $\gamma (a)$ und Endpunkt $\gamma (b)$ ab.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen