Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Definition

Äußere Ableitung (Mannigfaltigkeit)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann definiert man zu einer differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(M)$ die äußere Ableitung ${}d\omega \in {\mathcal {E}}_{0}^{k+1}(M)$ unter Bezugnahme auf den lokalen Fall und Karten

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

(${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen) durch

${}(d\omega ){|}_{U}=d{\left(\omega {|}_{U}\right)}=\alpha ^{*}{\left(d{\left(\alpha ^{-1*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}\right)}\right)}\,.$