Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  offen,  $k\in \mathbb{N}$  und es sei

$d:{ℰ}_1^k(U)⟶{ℰ}_0^{k+1}(U),\omega ⟼d\omega ,$

die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die äußere Ableitung

   $d:{ℰ}_1^0(U)⟶{ℰ}_0^1(U),$

   ist das totale Differential.

2. Die äußere Ableitung ist $ℝ$-linear.
3. Für  $\omega \in {ℰ}_1^k(U)$  und  $\tau \in {ℰ}_1^{\ell }(U)$  gilt die Produktregel

   $d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1{)}^k\omega \wedge (d\tau ).$

   Für  $k=0$  ist dies als

   $d(f\tau )=(df)\wedge \tau +fd\tau$

   zu lesen.

4. Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform $\omega$ ist  $d(d\omega )=0$. 
5. Für eine stetig differenzierbare Abbildung (mit $W\subseteq {ℝ}^m$ offen)

   $\psi :W⟶U$

   und jedes  $\omega \in {ℰ}_1^k(U)$  gilt für die zurückgezogenen Differentialformen

   $d({\psi }^{\ast }\omega )={\psi }^{\ast }(d\omega ).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen