Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition (die leere Menge ist die einzige relevante Indexmenge).
(2). Die Linearität folgt direkt aus der Definition, der Linearität des totalen Differentials und der Multilinearität des äußeren Produktes.

(3). Es seien die Koordinaten auf . Wegen der Linearität von und der Multilinearität des Dachprodukts können wir die beiden Differentialformen als und mit Indexmengen und schreiben. Es gilt dann


(4). Für eine -Form ist unter Verwendung von

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist mit den partiellen Ableitungen , und daher ist nach dem Satz von Schwarz. Für eine Differentialform vom Grad setzen wir an und erhalten

Nach der Produktregel (3) ist dieser Ausdruck eine Summe von Dachprodukten, bei denen jeweils ein „Dachfaktor“ die Form besitzt.

(5). Wir schreiben

Wegen der Linearität der äußeren Ableitung (2) und der Linearität des Zurückziehens von Differentialformen kann man mit ansetzen. Da das Zurückziehen nach Aufgabe und Aufgabe mit der Multiplikation mit skalaren Funktionen und mit dem Dachprodukt verträglich ist, gilt unter Verwendung der Produktregel (3), der Regel (4) und der Kettenregel (im Sinne von Aufgabe)