Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Dann ist die Weingartenabbildung ${}L_{P}$ in jedem Punkt ${}P\in Y$ selbstadjungiert.
2. Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann existiert genau dann eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf ${}M$, wenn ${}M$ orientierbar ist. Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.
3. Es sei

   $\psi \colon B\left(0,r\right)\longrightarrow B\left(0,r\right)$

   eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ in sich. Dann besitzt ${}\psi$ einen Fixpunkt.

Zur gelösten Aufgabe