Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine kommutative -Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle -lineare Abbildungen von nach handelt.

  1. Ein Differentialoperator der Ordnung ist die Multiplikationsabbildung

    zu einem Element .

  2. Ein Differentialoperator der Ordnung ist eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass für jedes die Abbildung

    ein Differentialoperator der Ordnung ist.

Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung (genau) besitzt, wenn er eine Ordnung , aber nicht besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung sind einfach Derivationen, also -lineare Abbildungen , die die Leibniz-Regel

erfüllen. Diese Regel kann man auch (was zunächst komplizierter aussieht) als

schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von dem Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung . Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung.



Lemma  

Es sei eine kommutative -Algebra und sei eine -lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Differentialoperator der Ordnung .
  2. Für beliebige Elemente gilt

Beweis  

Wir beweisen beide Richtungen durch Induktion über . Wenn ein Operator der Ordnung ist, so handelt es sich nach Definition um die Multiplikation mit einem Element . Somit gilt

Es sei nun ein Operator der Ordnung und Elemente gegeben. Aufgrund der induktiven Definition ist

ein Operator der Ordnung und erfüllt somit nach Induktionsvoraussetzung die angegebene Produktformel. Somit ist

Sei nun umgekehrt die Produktbedingung erfüllt. Bei bedeutet dies

und es liegt die Multiplikation mit vor, also ein Operator der Ordnung . Es sei nun eine -lineare Abbildung, die die Produktformel für Elemente erfülle. Wir zeigen, dass dann die Abbildung

die Produktformel für Elemente besitzt und daher nach Induktionsvorausetzung ein Operator der Ordnung ist, so dass selbst ein Operator der Ordnung ist. Es ist


Bemerkung  

Ein Differentialoperator auf einer -Algebra besitzt eine eindeutige Fortsetzung auf der Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System . Diese wird induktiv über die Ordnung von definiert. Für die Ordnung ist

Sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung definiert und sei ein Operator der Ordnung . Dann setzt man

wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.