Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle ${}K$-lineare Abbildungen von ${}R$ nach ${}R$ handelt.

1. Ein Differentialoperator der Ordnung ${}0$ ist die Multiplikationsabbildung

   $\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto xf,$

   zu einem Element ${}f\in R$.

2. Ein Differentialoperator ${}E$ der Ordnung ${}\leq n$ ist eine lineare Abbildung ${}E\colon R\rightarrow R$ mit der Eigenschaft, dass für jedes ${}f\in R$ die Abbildung

   $E\circ \mu _{f}-\mu _{f}\circ E$

   ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n-1$ ist.

Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung (genau) ${}n$ besitzt, wenn er eine Ordnung ${}\leq n$, aber nicht ${}\leq n-1$ besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung ${}1$ sind einfach Derivationen, also ${}K$-lineare Abbildungen ${}D\colon R\rightarrow R$, die die Leibniz-Regel

${}D(fg)=fD(g)+gD(f)\,$

erfüllen. Diese Regel kann man auch (was zunächst komplizierter aussieht) als

${}D(fg)=fD(g)+gD(f)-fgD(1)\,$

schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf ${}0$ abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von dem Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung ${}\leq 1$. Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung.

Lemma

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und sei ${}E\colon R\rightarrow R$ eine ${}K$-lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}E$ ist ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$.
2. Für beliebige Elemente ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ gilt

   ${}{\begin{aligned}E(f_{0}\cdots f_{n})&=\sum _{s=1}^{n+1}(-1)^{s+1}\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=s}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$

Beweis

Wir beweisen beide Richtungen durch Induktion über ${}n$. Wenn ${}E$ ein Operator der Ordnung ${}0$ ist, so handelt es sich nach Definition um die Multiplikation ${}\mu _{g}$ mit einem Element ${}g$. Somit gilt

${}E(f_{0})=gf_{0}=E(1)f_{0}\,.$

Es sei nun ${}E$ ein Operator der Ordnung ${}\leq n+1$ und Elemente ${}f_{0},\ldots ,f_{n+1}\in R$ gegeben. Aufgrund der induktiven Definition ist

${}D:=E\circ \mu _{f_{n+1}}-\mu _{f_{n+1}}\circ E\,$

ein Operator der Ordnung ${}\leq n$ und erfüllt somit nach Induktionsvoraussetzung die angegebene Produktformel. Somit ist

${}{\begin{aligned}E{\left(f_{0}\cdots f_{n+1}\right)}&=E\circ \mu _{f_{n+1}}{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=D{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}+\mu _{f_{n+1}}\circ E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot D{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}+f_{n+1}E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot {\left(E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\cdot f_{n+1}\right)}-f_{n+1}E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\right)}+f_{n+1}E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\cdot f_{n+1}\right)}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot f_{n+1}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,J\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$

Es sei nun umgekehrt die Produktbedingung erfüllt. Bei ${}n=0$ bedeutet dies

${}E(f_{0})=f_{0}E(1)\,$

und es liegt die Multiplikation mit ${}E(1)$ vor, also ein Operator der Ordnung ${}0$. Es sei nun ${}E$ eine ${}K$-lineare Abbildung, die die Produktformel für ${}n+1$ Elemente erfülle. Wir zeigen, dass dann die Abbildung

$E\circ \mu _{f_{n+1}}-\mu _{f_{n+1}}\circ E$

die Produktformel für ${}n$ Elemente besitzt und daher nach Induktionsvorausetzung ein Operator der Ordnung ${}\leq n$ ist, sodass ${}E$ selbst ein Operator der Ordnung ${}\leq n+1$ ist. Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(E\circ \mu _{f_{n+1}}-\mu _{f_{n+1}}\circ E\right)}{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}&=E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\cdot f_{n+1}\right)}-f_{n+1}E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,J\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}-f_{n+1}E{\left(f_{0}\cdots f_{n}\right)}\\&=\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,J\neq \emptyset ,\{n+1\}}(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}\\&=\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,J\neq \emptyset ,\,n+1\notin J}(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}+\sum _{J\subseteq \{0,\ldots ,n+1\},\,n+1\in J,\,J\neq \{n+1\}}(-1)^{{\#\left(J\right)}+1}\prod _{i\in J}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin J}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\cdot f_{n+1}\right)}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n,\,I\neq \emptyset \}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot f_{n+1}E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot {\left(E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\cdot f_{n+1}\right)}-f_{n+1}E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot {\left(E\circ \mu _{f_{n+1}}-\mu _{f_{n+1}}\circ E\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\,\end{aligned}}$

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Bemerkung  

Ein Differentialoperator ${}E\colon R\rightarrow R$ auf einer ${}K$-Algebra ${}R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung ${}{\tilde {E}}$ auf der Nenneraufnahme ${}R_{W}$ zu einem multiplikativen System ${}W\subseteq R$. Diese wird induktiv über die Ordnung von ${}E$ definiert. Für die Ordnung ${}0$ ist

${}{\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)}{w}}\,.$

Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung ${}\leq n$ definiert und sei ${}E$ ein Operator der Ordnung ${}\leq n+1$. Dann setzt man

${}{\tilde {E}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}={\frac {E(f)-{\widetilde {[E,\mu _{w}]}}{\left({\frac {f}{w}}\right)}}{w}}\,,$

wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.