Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei eine kommutative -Algebra und es sei ein Differentialoperator der Ordnung und ein Differentialoperator der Ordnung .

Dann ist die Hintereinanderschaltung ein Differentialoperator der Ordnung .

Beweis  

Wir führen Induktion über . Bei ist die Verknüpfung einfach . Im Allgemeinen schreiben wir

und die Aussage folgt aus der Induktionsvoraussetzung und der induktiven Definition.

Insbesondere ist die Verknüpfung von Derivationen ein Differentialoperator der Ordnung .


Definition  

Zu einer kommutativen -Algebra bezeichnet man die Menge aller -Differentialoperatoren auf mit der Verknüpfung als Multiplikation als Ring der Differentialoperatoren. Er wird mit bezeichnet.

Nach Fakt ist ein Unterring des Endomorphismenringes .

Die Identität, also die Multiplikation mit , ist das neutrale Element dieses Ringes. Einfache Beispiele zeigen, dass dieser Ring nicht kommutativ ist.


Beispiel  

Sei , und . Dann ist

und

die Verknüpfung von Differentialoperatoren ist also nicht kommutativ.