Beweis
Wir gehen von
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![{\displaystyle {}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d8e5719f01bb2908781b5780aa174e849b9b26)
und
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![{\displaystyle {}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f38aa82a197bb157951afdc6004d4d87f93edf)
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a4ea48f054b326c6cfcffc8e21ee372507e29e)
Aufgrund von
Fakt
für
Limiten
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert
für
.