Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten den Differenzenquotienten

$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\frac{f^{-1}(y)-a}{y-b}$

und müssen zeigen, dass der Limes für $y\to b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $E\setminus \{b\}$, die gegen $b$ konvergiert. Nach Fakt ist $f^{-1}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern  $x_n:=f^{-1}(y_n)$  gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist  $x_n\ne a$  für alle $n$. Damit ist

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{-1}(y_n)-a}{y_n-b}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n-a}{f(x_n)-f(a)}={\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\right)}^{-1},$

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Fakt  (5) beruht.

Zur bewiesenen Aussage