Differenzierbar/D offen K/Produktregel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von

$f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(x)=g(a)+\tilde{s}(x-a)+\tilde{r}(x)(x-a)$

aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

$\begin{array}{cc}f(x)g(x)& =(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+\tilde{s}(x-a)+\tilde{r}(x)(x-a))\\ & =f(a)g(a)+(sg(a)+\tilde{s}f(a))(x-a)\\ & +(f(a)\tilde{r}(x)+g(a)r(x)+s\tilde{s}(x-a)+s\tilde{r}(x)(x-a)+\tilde{s}r(x)(x-a)+r(x)\tilde{r}(x)(x-a))(x-a).\end{array}$

Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für  $x=a$. 

Zur bewiesenen Aussage