Beweis
Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass
und
ist. Es sei
die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung . Wir betrachten die Gesamtabbildung
-
Diese ist wieder differenzierbar, und das totale Differential davon ist
nach der
Kettenregel.
Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für , da eine lineare Abbildung differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass eine differenzierbare Abbildung mit
ist, deren totales Differential in die Identität ist.
Nach diesen Reduktionen bedeutet die Differenzierbarkeit von in , dass der
Limes
-
ist. Wir müssen entsprechend für die Umkehrabbildung die Beziehung
-
zeigen. Es genügt, dies für jede
Folge
nachzuweisen. Eine solche Folge kann man eindeutig als
(mit
)
schreiben und aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von konvergiert auch die Folge gegen . Also ist
Wegen
mit
gibt es eine hinreichend kleine Umgebung von derart, dass
-
Daher lässt sich die obere Gleichungskette
(für hinreichend groß)
fortsetzen durch
-
und dies konvergiert gegen .