Differenzierbare Abbildung/R/Bijektives Differential/Stetige Umkehrabbildung/Differenzierbar/Fakt/Beweis

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Beweis

Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass und ist. Es sei die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung . Wir betrachten die Gesamtabbildung

Diese ist wieder differenzierbar, und das totale Differential davon ist nach der Kettenregel. Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für , da eine lineare Abbildung differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass eine differenzierbare Abbildung mit ist, deren totales Differential in die Identität ist.
Nach diesen Reduktionen bedeutet die Differenzierbarkeit von in , dass der Limes

ist. Wir müssen entsprechend für die Umkehrabbildung die Beziehung

zeigen. Es genügt, dies für jede Folge nachzuweisen. Eine solche Folge kann man eindeutig schreiben als (mit ) und aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von konvergiert auch die Folge gegen . Also ist

Wegen mit gibt es eine hinreichend kleine Umgebung von derart, dass

Daher lässt sich die obere Gleichungskette (für hinreichend groß) fortsetzen durch

und dies konvergiert gegen .

Zur bewiesenen Aussage