Beweis
Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass
und
ist. Es sei
die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung
. Wir betrachten die Gesamtabbildung
-
Diese ist wieder differenzierbar, und das totale Differential davon ist
nach der
Kettenregel.
Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für
, da eine lineare Abbildung differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass
eine differenzierbare Abbildung mit
ist, deren totales Differential in
die Identität ist.
Nach diesen Reduktionen bedeutet die Differenzierbarkeit von
in
, dass der
Limes
-

ist. Wir müssen entsprechend für die Umkehrabbildung
die Beziehung
-

zeigen. Es genügt, dies für jede
Folge
nachzuweisen. Eine solche Folge kann man eindeutig als
(mit
)
schreiben und aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von
konvergiert auch die Folge
gegen
. Also ist

Wegen
mit
gibt es eine hinreichend kleine Umgebung von
derart, dass
-

Daher lässt sich die obere Gleichungskette
(für
hinreichend groß)
fortsetzen durch
-
und dies konvergiert gegen
.