Beweis
Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass
und
ist. Es sei
die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung
. Wir betrachten die Gesamtabbildung
-
Diese ist wieder differenzierbar, und das totale Differential davon ist
nach der
Kettenregel.
Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für
, da eine lineare Abbildung differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass
eine differenzierbare Abbildung mit
ist, deren totales Differential in
die Identität ist.
Nach diesen Reduktionen bedeutet die Differenzierbarkeit von
in
, dass der
Limes
-
![{\displaystyle {}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\varphi (v)-v}{\Vert {v}\Vert }}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041b8b7d77eb618ff1069359ae72900e633b32f9)
ist. Wir müssen entsprechend für die Umkehrabbildung
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\operatorname {lim} _{w\rightarrow 0}\,{\frac {\psi (w)-w}{\Vert {w}\Vert }}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec9c9b3a6698aef55fcc9b409caeb4433baba8c)
zeigen. Es genügt, dies für jede
Folge
nachzuweisen. Eine solche Folge kann man eindeutig als
(mit
)
schreiben und aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von
konvergiert auch die Folge
gegen
. Also ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\Vert {\psi (w_{n})-w_{n}}\Vert }{\Vert {w_{n}}\Vert }}&={\frac {\Vert {\psi (\varphi (v_{n}))-\varphi (v_{n})}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {v_{n}-\varphi (v_{n})}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {\varphi (v_{n})-v_{n}}\Vert }{\Vert {\varphi (v_{n})}\Vert }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afe299f137ffdecc94489a81dff06257ac70787)
Wegen
mit
gibt es eine hinreichend kleine Umgebung von
derart, dass
-
![{\displaystyle {}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)}\Vert \geq {\frac {1}{2}}\Vert {v}\Vert \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963d3b96310544cfe7c1efc8e78a26c4f07489bb)
Daher lässt sich die obere Gleichungskette
(für
hinreichend groß)
fortsetzen durch
-
und dies konvergiert gegen
.