Differenzierbare Abbildung/R/Bijektives Differential/Stetige Umkehrabbildung/Differenzierbar/Fakt

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen und sei

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}\subseteq V_{2}$

eine bijektive differenzierbare Abbildung. Sei  ${}P\in U_{1}$.  Das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

sei bijektiv und die Umkehrabbildung

$\psi \colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

sei stetig in  ${}Q=\varphi (P)$. 

Dann ist die Umkehrabbildung differenzierbar in ${}Q$ und für ihre Ableitung gilt

${}\left(D\psi \right)_{Q}=(\left(D\varphi \right)_{P})^{-1}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen