Differenzierbare Abbildung/R/Bijektives Differential/Stetige Umkehrabbildung/Differenzierbar/Fakt

Es seien $V_1$ und $V_2$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $U_1\subseteq V_1$ und $U_2\subseteq V_2$ offene Teilmengen und sei

$\phi :U_1⟶U_2\subseteq V_2$

eine bijektive differenzierbare Abbildung. Sei  $P\in U_1$.  Das totale Differential

${\left(D\phi \right)}_P$

sei bijektiv und die Umkehrabbildung

$\psi :U_2⟶U_1$

sei stetig in  $Q=\phi (P)$. 

Dann ist die Umkehrabbildung differenzierbar in $Q$ und für ihre Ableitung gilt

${\left(D\psi \right)}_Q=({\left(D\phi \right)}_P{)}^{-1}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen