Differenzierbare Funktionsfamilie/Ableitung lokal gleichmäßig summierbar/Fakt

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ ein Gebiet und ${}f_{i}:T\rightarrow {\mathbb {K} }$, ${}i\in I$, eine Familie von differenzierbaren Funktionen. Die Familie ${}f_{i}$, ${}i\in I$, sei lokal gleichmäßig summierbar und es gebe einen Punkt ${}P\in T$, für den ${}f_{i}(P)$, ${}i\in I$, summierbar sei.

Dann ist ${}f_{i}$, ${}i\in I$, lokal gleichmäßig summierbar, die Summe ${}\sum _{i\in I}f_{i}$ ist differenzierbar und ihre Ableitung ist ${}\sum _{i\in I}f_{i}'$.

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