Differenzierbare Hyperfläche/Allgemeiner Zylinder/Hauptkrümmungen/Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Wir fassen ${}h$ auch als eine Abbildung ${}{\tilde {h}}$ auf ${}W\times \mathbb {R} ^{m}$ auf, wobei die hinteren ${}m$ Variablen nicht explizit in ${}{\tilde {h}}$ eingehen. Es sei

${}Z={\tilde {h}}^{-1}(c)=Y\times \mathbb {R} ^{m}\subseteq W\times \mathbb {R} ^{m}\,.$

Es sei ${}Q\in Z$ ein Punkt über ${}P\in Y$. In welcher Beziehung stehen die Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen von ${}Z$ in ${}Q$ und von ${}Y$ in ${}P$.

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